Küresel ve hiperbolik uzayda Bertrand eğrileri

Abstract

Bu tez, beş bölümden oluşmaktadır. Birinci bölümde, öncelikle farklı ambiant uzaylarda Bertrand eğri kavramı ile ilgili yapılan çalışmaların literatür bilgisi verildi. Sonra tezin amacına yönelik olarak, sırasıyla Öklid uzayında, küresel uzayda, Minkowski uzayında ve hiperbolik uzayda eğriler teorisi ile ilgili ihtiyaç duyulan temel tanım ve teoremlere yer verildi. İkinci bölümde, küresel uzayda Bertrand eğri kavramı ile ilgili mevcut tanım ve teoremler verildi. Üçüncü bölümde, dört boyutlu Öklid uzayında (1,3)-Bertrand eğri tanımı verildi. Sonra, bu eğriler ile küresel uzaydaki Bertrand eğriler arasındaki ilişkiler ile ilgili teoremler ifade edildi. Dördüncü bölümde, hiperbolik uzayda Bertrand eğri kavramı ile ilgili mevcut tanım ve teoremler ayrıntılı olarak incelendi. Tezin orijinal kısmı olan son bölümde, dört boyutlu Minkowski uzayında dejenere olmayan özel Frenet eğrilerinin, (1,3)-normal düzleminin causal karakterine göre (1,3)-Bertrand eğri tanımı verildi. Sonra, hiperbolik uzaydaki sabit olmayan eğrilikli düzlemsel olmayan bir Bertrand eğrinin, dört boyutlu Minkowski uzayında timelike (1,3)-Bertrand eğri olma koşulu verildi. İlk defa bu tezde, dört boyutlu Minkowski uzayındaki spacelike veya timelike (1,3)-Bertrand eğrisinden, hiperbolik uzayda Bertrand eğri elde etme metotları \mbox{verildi} ve bu eğrilerin eğrilikleri arasındaki ilişkiler elde edildi. Son olarak hiperbolik uzaydaki bir helisin, Bertrand eğri olduğu ile ilgili bir örnek verilip kendisinin ve Bertrand eğri çiftinin hiperbolik uzayın Poincare yuvar modelindeki görüntüleri çizildi.

This thesis consists of five chapters. In the first chapter, the literature survey about the concept of Bertrand curves in different ambient spaces is given. Then, we give needed fundamental definitions and theorems on curves theory in Euclidean, Minkowski, spherical and hyperbolic space, respectively. In the second section, the existing definitions and theorems about the concept of Bertrand curve in the spherical space. In the third section, we study the notion of (1,3)-Bertrand curve and its specifications in four-dimensional Euclidean space. Moreover, the theorems about relationships between these curves are given. In the fourth section, we review in detail the existing definitions and theorems about the concept of Bertrand curves in hyperbolic space. In the last part which is the original part of the thesis, we define (1,3)-Bertrand curve according to the causal character of (1,3)-normal plane of non-degenerate special Frenet curves in four-dimensional Minkowski space. Then, we give the needed condition that is the timelike (1,3)-Bertrand curve in four-dimensional Minkowski space for a non-planar Bertrand curve with non-constant curvature in hyperbolic space. However, we give methods of obtaining Bertrand curve in hyperbolic space by the spacelike or timelike (1,3)-Bertrand curve in four-dimensional Minkowski space and obtain relations between curvatures of these curves for the first time in this thesis. Finally, we show that a helix is also a Bertrand curve in hyperbolic space and draw images of the curve and its Bertrand mate in Poincare ball model of hyperbolic space as an example.