Değişken üstlü uzaylarda hardy eşitsizlikleri ve bazı uygulamaları

Abstract

Bu tezde Lebesgue uzayı, Hardy eşitsizlikleri ve değişken üstlü uzaylar hakkında bilgi verilecek, $L^{p(x)}$ uzayında elde edilen Hardy eşitsizliği ispatıyla birlikte verilecektir. Tez altı bölümden oluşmaktadır. Birinci bölüm giriş kısmıdır. İkinci bölümde, bundan sonraki bölümlerde işlenecek olan konuları yakından ilgilendiren temel uzay bilgisi, Lebesgue uzayı ve bu uzayda kullanılan kavram, notasyon ve teoremlere yer verilecektir. Ayrıca $L_{p}$ uzayının tanımı, normu ve özelliklerinden bahsedilecek ve Orlicz uzayı ve Modüler uzay tanımı verilecektir. Bu uzayların yapısı hakkında bilgiler verilecektir. Üçüncü bölümde, Hardy eşitsizliklerinin başlangıcından bugüne gelişimi, kazandığı başka formlar hakkında bilgiler verilecektir. Dördüncü bölümde, yine $L_p$ uzayında olduğu gibi değişken üstlü $L^{p(x)}$ uzayının tanımı ve özellikleri verilecektir. Beşinci bölümde, değişken üstlü $L_p$ uzayı için elde edilen Hardy eşitsizliği ispatıyla birlikte verilecektir. Altıncı bölümde, bazı uygulamalara yer verilecektir.

In this thesis, information about Lebesgue space, Hardy inequalities and variable exponents spaces will be given, and Hardy's inequality which obtain in the space $L^{p(x)}$ is investigated with it's proof. This thesis consist of six chapters The first chapter is devoted to introduction. In the second chapter, we give information about some space knowledge, definition of Lebesgue space and it's basic properties, which is very important for the other sections. The information about $L_p$ space, it's norm and it's basic properties is given and also the definitions of Orlicz space and Modular space is given. The information about the structures' of these spaces is given. In the third chapter, we talk about the beginning of Hardy inequality and also developing from beginning to today. And we talk about Hardy's inequalities' the other forms. In the fourth chapter, we give information about $L^{p(x)}$ space, it's norm and it's basic properties like $L_{p}$ In the fifth chapter, Hardy's inequality which obtain in the space $L^{p(x)}$ will be given with it's proof. Finally we will present our opinions and suggestions. In the six chapter, some applications is introduced.